Часть 3. Методы прикладной статистики

3.2. Многомерный статистический анализ

Контрольные вопросы и задачи

1. Имеются данные за несколько лет о торговом обороте Y западногерманского предприятия и его расходах на рекламу X. Данные представлены в табл. 4.

Таблица 4.

Расходы на рекламу и торговый оборот предприятия.

          Вычислите линейный коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y. С помощью метода наименьших квадратов определите коэффициенты линейной регрессии Y = aX + b. Постройте график (заданные точки (x_i,y_i) и прямую y= a*x+b*). Найдите доверительные границы для регрессионной зависимости (при доверительной вероятности γ = 0,95). Нанесите доверительные границы на график. Сделайте точечный и интервальный прогноз для торгового оборота при расходах на рекламу, равных 15 (тыс. марок ФРГ).

          Аналогичным образом изучите зависимости расходах на рекламу X и торгового оборота Y от времени t (за начало отсчета целесообразно взять 1971 год).

 2. Семь школьников выполняют несколько заданий по математике и физике, которые оцениваются баллами 1-5, затем вычисляется средний балл для каждого школьника по каждому предмету: по математике - x_i,  по физике - y_j. Данные представлены в табл.5. Определите, существует ли корреляция (т.е. связь) между этими оценками, вычислив коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Таблица 5.

Средние баллы по математике и физике.

3. Исходные данные (табл.6) – набор n пар чисел (t_k , x_k), k = 1,2,…,n, где t_k – независимая переменная (например, время), а  x_k – зависимая (например, индекс инфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостью

x_k = a t_k + b + e_k , k = 1,2,…,n,

где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а e_k – погрешности, искажающие зависимость.

Таблица 6.

Исходные данные для расчетов по методу наименьших квадратов.

          Методом наименьших квадратов оцените параметры a и b линейной зависимости. Выпишите восстановленную зависимость.

          Вычислите восстановленные значения зависимой переменной, сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условие точности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных).

          Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсию погрешностей.

          Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнюю доверительные границы для него  (для доверительной вероятности 0,95).

          Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы для него для момента  t =  12.

          Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будет увеличена? А если она будет уменьшена?

4. Как в методе наименьших квадратов используются преобразования переменных?

5. Как соотносятся задачи группировки и задачи кластер-анализа?

6. В табл.7 приведены попарные расстояния между десятью социально-психологическими признаками способных к математике школьников [11]. Примените к этим данным алгоритмы ближнего соседа, средней связи и дальнего соседа. Для каждого из трех алгоритмов выделите наиболее устойчивые разбиения на кластеры.

Таблица 7.

Попарные расстояния между социально-психологическими признаками.

	1	2	3	4	5	6	7	9	10
2	1028
3	1028	608
4	1050	688	610
5	1012	686	636	634
6	1006	566	538	616	562
7	1012	1026	748	692	774	732
8	960	1088	1144	1122	1120	1130	1110
9	1026	878	874	830	836	802	904	1040
10	990	744	674	744	718	580	814	1090	830

7. Расскажите о динамике индекса инфляции в России.